قانون جاذبه جهانی

نیوتن (1642-1727) در شهر وولسترپ انگستان متولد شد، در کامبریج آغاز تحصیل نمود، نیوتن آزمایشگر ماهر و تحلیل گر عالی بود. بطور قطعی همه او را در زمرهء بزرگترین ریاضی دانانی می دانند که بصیرت در مسایل فزیکی و توانایی در مطالعه ریاضی آنها را داشت. این دانشمند با تدوین سه قانون حرکت، نظریات خود را معه تدوین آنها دربارهء اجسام متحرک آغاز کرد. به وسیله تلسکوپ نتایج فراوانی از مشاهدات نجومی را منعکس نمود، در شناخت نور، تشریح قوانین آن و تجزیه نور کارهای بی نظیری را انجام داده، کتابی در این موارد نوشت.

در ستاره شناسی مقام بلندی داشت. کار مهم او کشف قانون جاذبه جهانی است که در تمام کائنات مورد استفاده قرار می گیرد. این سخن از لاکرانژ است که: نیوتن بزرگترین نابغه ای بوده که در جهان زیسته است و نیز خوشبخت ترین آنان، زیرا که تنها یکبار می توان دستگاه جهان را تأ سیس کرد. به هر حال اندیشه نیوتن در قانون جاذبه جهانی، عبارت از وجههء دینامیکی مدار سیاره ها، یا مثلی که امروز اصطلاح شده مبانی میخانیک آسمانی حساب می شود. انگیزه ای که منجر به کشف این قانون برای نیوتن شد، افتادن یک سیب از درخت در سال 1665 در ایام تعطیلی دانشگاه کمبریج به علت طاعون بود، که نیوتن 23 ساله در آن روزگار از جمله دانش جویان دانشگاه مذکور بود. نیوتن سقوط سیب از درخت و حرکت مهتاب به دور زمین را مورد مطالعه قرار داده اظهار نمود: قوه ئی که به سیب تعجیل میدهد، آیا همان قوه یی نیست که مهتاب را در مدارش نگه می دارد؟

این در حالی است که گالیله به صورت قطعی می دانست که قوهء جاذبه زمین دو جسم به حاصل ضرب کتله های آنها متناسب است، هم چنان گالیله در مورد سقوط اجسام و قوه جاذبه بین زمین و سایر اشیای نزدیک به سطح زمین مطالعه زیادی انجام داده بود و تعجیل آنها را محاسبه نموده بود.

همین طور رابرت هوک که از معاصران نیوتن بود، می گفت که سیارات تحت تأثیر قوه یی که با مجذور فاصله کم می شود، حرکت می کنند. کپلر نیز وجود این قوه را قبول داشت و معتقد بود که این قوه به نسبت فاصله ضعیف می شود. اما هیچ یکی از آنها نتوانستند که اثر فاصله به قوهء جاذبه بین دو جسم را تعیین کنند. نیوتن به کمک محاسبات ریاضی ثبوت کرد که همان قوه که به سیب درجریان سقوط تعجیل می دهد، عامل تعجیل مهتاب به دور زمین، همین طور عامل تعجیل هر سیاره درجریان گردش به حول آفتاب می باشد.

بالاخره نیوتن همه یافته های خود را در این مورد در اثر خود به نام «شروع ریاضیکی فلسفه طبیعی» گنجانید و در سال 1687 منتشر ساخت. به این ترتیب نیوتن توانست حرکت سیاره ها را در منظومه شمسی و سقوط اجسام در نزدیکی سطح زمین را با یک مفهوم مشترک توجیه کند، یعنی دو علم میکانیک زمینی و میکانیک آسمانی را که قبلا" از هم جدا مطرح بودند، در قالب یک نظریهء واحد قرار داد.

به اساس قانون جاذبه جهانی هر ذرهء مادی در جهان، ذرهء مادی دیگر را با قوه ای جذب می کند که با حاصل ضرب کتله های آن دو ذره و هم چنان با عکس مجذور فاصله آنها متناسب است.

بنابر این رابطه ریاضیکی این بیان را نیوتن به شکل زیر افاده نمود:

(قانون جاذبه جهانی)

………………………………… (1)

که در آن اندازه قوه جاذبه وارد بر هر یک از دو ذره، m₁ و m₂ کتله های آنها، r فاصله آنها از یکدیگر و G (ضریب تناسب) که اندازه آن به سیستم واحدات بستگی دارد، عبارت از ثابت جاذبه می باشد. (م 1)

شکل 1: دو ذره ای که به فاصله r در حالت تاثیر متقابل است.

عمل قوه جاذبه همیشه در امتداد خطی است که دو ذره را به هم وصل می کنند و یک زوج عمل و عکس العمل را تشکیل می دهد. باید واضح ساخت که اندازه های این دو قوه در تأثیر متقابل هیچگاهی تابع اندازه های کتله های این دو ذره نبوده و همیشه برابر می باشند.

قانون جاذبه جهانی یک قانون وکتوری است که می توان آن را به شکل زیر بیان نمود:

الف) قوه عامل از طرف جسم با کتله m1 بالای جسم m2 ، شکل وکتوری ذیل را دارد:

طوری که شعاع وکتوری است که از m₁ به طرف m₂ جهت داشته و نسبت عبارت از وکتور واحد است. علامه منفی نشان دهنده مخالف بودن جهات وکتورهای و است.

بنابر این:

(شکل2 )

حالت وکتوری تاثیر متقابل جاذبه ای دو جسم.

قوه اعمالی بر روی m₁ توسط m₂ ، بطور مشابه صورت می گیرد. یعنی:

اگر یکی از اجسام کره متجانس با شعاع بزرگ و دومی یک نقطه مادی باشد، در این صورت نیز قانون (1) نیوتن صادق است. مثلاً در مورد زمین و جسم با کتله m :

در حالی که r عبارت از فاصله نقطه مادی از مرکز کره است.

(شکل 3) تاثیر متقابل جاذبه ای یک کره متجانس با یک نقطه مادی.

وقتی که این قوه به مختصات زاویه ای بستگی نداشته باشد، می تواند به فاصله از مرکز وابسته باشد. این موضوع ارزش عملی زیادی دارد؛ چون کثافت آفتاب، زمین و سایر سیارات یک نواخت نبوده بلکه از خارج به طرف مرکز آنها شدیداً افزایش می یابد.

نیوتن در این مورد با جرأت فرض کرد که زمین می تواند بصورت عمل کند که گویا تمام کتله آن در مرکزش متمرکز شده باشد. با قبول نمودن این فرض یک جسم که در نزدیکی سطح زمین سقوط می کند، به اندازه شعاع کره زمین (6400km) ، از مرکز موثر جاذبه زمین فاصله دارد. به این ترتیب ماه در حدود 380000 km از زمین فاصله دارد.

نسبت مربع معکوس این فواصل برابربا می باشد، از همین جا بود که نیوتن در جریان تحقیق به توافق این نسبت و نسبت تعجیل های مهتاب و سیب دست یافت، یعنی به قول نیوتن «تقریباً پاسخ زیبایی» پیدا شد.

(شکل 4 )

مهتاب و سیب، هر دو بطرف مرکز زمین در حال

تعجیل گرفتن است. اما مهتاب صورت مماسی کافی

برای حرکت در یک مدار دایره ای دارد.

همچنانکه بصورت کل این روش در مورد اجسام با کتله های بزرگ غلط است، حساب انتیگرال در این مورد نقش اساسی دارد که نیوتن آن را ابداع نموده است.

باید خاطر نشان ساخت که قانون جاذبه جهانی نیوتن به هیچ صورتی، معادلهء تعریف کننده کمیت های فزیکی (قوه، کتله و طول) موجود در آن نمی باشد، یعنی نیوتن مشخصه مقداری جاذبه را بر قرار ساخته است. (م 2)

تعیین مقدار G ، ظاهراً ساده به نظر می رسد. آنچه باید انجام شود اندازه گیری قوه جاذبه F_gبین دو کتله شناخته شده m₁ و m₂ است که توسط فاصله شناخته شده r از هم جدا شده اند. بنابر این، ثابت جاذبه G را می توانیم به واسطه رابطه (1) محاسبه نماییم. سیستم هایی با مقیاس بزرگ مثل زمین و مهتاب یا زمین و آفتاب، نسبت موجودیت فاصله زیاد بین آنها و عدم اندازه گیری مستقل کتله های آنها (بدون قیمت عددی G ) ، نمی تواند جهت به دست آوردن قیمت عددی G استفاده شود.

لذا مجبوریم به مقیاس اندازه گیری کوچکی رجوع نماییم که در آن از دو جسم تجربی با کتله های معلوم استفاده نموده، قوه بین آنها را اندازه کنیم، در این حالت قوه جاذبه خیلی کوچک و ضعیف است، از این رو کتله ها باید آنقدر به هم نزدیک شوند تا اینکه قوه بین آنها تا حد ممکن بزرگ شود. از اینکه در این حالت قوه جاذبه بسیار کوچک است، مشلکلات زیادی را درجریان این اندازه گیری بار می آورد. مثلاً دو جسمی که کتله هر کدام شان در حدود 100 kg و به فاصله یک متر از هم قرار بگیرد، با قوه تقریباً N عمل ذات البینی می نماید.به هر صورت اولین بار اندازه گیری ثابت جاذبه جهانی (G) به ابتکار هانری کاوندیش انجام شد. موصوف جهت اندازه گیری قوه طریقه کاملاً حساس یعنی طریقه ترازوهای دوار را به کار برد.

(شکل 5)

ترازوی دوار یا پیچشی که کاوندیش برای

اندازه گیری ثابت جاذبه جهانی به کار برد.

به اساس این طریقه دو کره سربی به کتله های m (کتله هر کدام شان 0.729 kg ) که به انجام های یک شاهین سبک محکم شده اند، در جوار کره های به کتله های M (کتله هر کدام شان 158 kg) واقع اند، قرار داده شده اند.

شاهین به تار ارتجاعی آویزان شده که نظر به تاب خورده گی آن می توان قوه ای را تعیین نمود که بواسطه آن کره های مذکور یکدیگر خود را جذب می کنند، انجام فوقانی تار به بالای یک دستگاه محکم شده است که توسط گردش آن می توان فاصله بین کره های m و M را تغییر داد. (م1)

به این ترتیب دقیق ترین قیمت که برایG دریافت گردیده عبارت اند از:

می باشد.

اگر در رابطه (1) m₁ ، m₂ و r مساوی به واحد قرار داده شوند، در این صورت قوه، عدداً مساوی به G می شود. بدین ترتیب دو کره که کتله های هر کدام شان 1kg است و مراکز شان به فاصله 1m از همدیگر قرار دارند، متقابلاً توسط قوه ای که مساوی به می باشد، جذب می شوند.

کاوندیش نتایج خود را در مقاله ای تحت عنوان «توزین زمین» منتشر کرد. در واقع عنوان مقاله ای که کاوندیش برای توصیف تجارب خود برگزید، مربوط به اندازه گیری G نبود، بلکه مربوط به تعیین کثافت زمین از روی وزن و حجم آن بود.

به هر صورت کتله زمین به کمک قانون جاذبه جهانی و قیمت G، قابل تعیین است. بدین لحاظ کاوندیش به عنوان اولین فردی که زمین را «وزن» کرده است شناخته می شود. در حالی که کتله زمین را در سال 1881 م فلیپ وان جولی (Philip Von Jolly) تعیین نموده است.

مشکلاتی که درجریان تعیین ثابت جاذبه جهانی بروز می نماید، نسبت نقش عمده و اساسی که قانون جاذبه جهانی در تئوری های مبدأ و ساختار جهان دارد، مهم می باشد. لذا سوالاتی مثل: آیا G واقعاً مقدار ثابت است؟ آیا نسبت به زمان تغییر می کند؟ آیا بحالت های فزیکی و کیمیاوی کتله های اجسام بستگی دارد؟ آیا به درجه حرارت آنها ارتباط دارد؟ ، می شود مطرح شود، اما با وجود انجام آزمایش های مکرر، هیچگونه تغییراتی ناشی از این فکتور ها در مورد G تا بحال به وضوح اثبات نشده است. با آنهم اندازه گیری ها در حال تصحیح و اثبات پیرامون آن در حال اجرا و تجارب همچنان ادامه دارد. (م 3)

در آخر این موضوع لازم به ذکر می دانم که ثابت جاذبه جهانی (G) را نباید با تعجیل جاذبه زمین g (تعجیل یک جسم سقوط کننده تحت جاذبه زمین) ، اشتباه کرد.

G که هیچگاهی تابع کتله های اجسام و فواصل بین آنها نبوده، یک ثابت جهانی می باشد در حالیکه g نه یک مقدار ثابت و نه یک مقدار جهانی است. همچنان G دارای اندازه یا مقیاس L³/MT² بوده و یک کمیت سکالر می باشد. اما g دارای مقیاس L/T² بوده و یک کمیت وکتور می باشد. همین طور ثابت جاذبه جهانی (G) ، یک عدد بسیار کوچک است، که نشان می دهد چرا معمولاًمتوجه قوه جاذبه بین اجسام اطراف خود نمی شویم.

از نظر نیوتن تاثیر متقابل یا عمل، به یک فاصله بدون کمک کدام واسطه انجام می گیرد، اما به اساس نظریات معاصر عمل متقابل کیفی اجسام به یک فاصله از طریق واسطهء مادی خاص بنام «ساحه قوه ای» صورت می گیرد. ساحه قوه ای که عمل متقابل جاذبوی را بین اجسام انتقال می دهد، بنام ساحه جاذبه یاد می شود. همچنان که ساحه های قوه ای در عمل متقابل در موارد دیگری چون عمل متقابل چارج های برقی (ساحه الکترو مقناطیسی) و غیره را نیز داریم.بنابر این، عمل متقابل دو کتله نقطوی m₁ و m₂ که توسط قوه تعیین می شود، باید بصورت زیر تشریح گردد:

کتله های m₁ و m₂ هر کدام ساحه ای را ایجاد می نماید که بالای یکدیگرشان تأثیر متقابل وارد می کند (کتله M به اطراف خود ساحه تولید می کند.) ظهور این ساحه زمانی صورت می گیرد که جسم امتحانی (نقطوی) با کتله m در آن ساحه داخل گردد، و در نتیجه عمل ساحه به مشاهده برسد.

هر گاه کتله امتحانی (نقطوی) m در هر نقطه کیفی ساحه داخل شود، تأثیر قوه چنان به مشاهده می رسد که جهت اش به طرف کتلهء ایجاد کننده ساحه است. برعکس اگر در نقطه کیفی از فضا که کتله امتحانی قرار دارد، قوهء عمل نماید، بیانگر این حقیقت است که جسم امتحانی در ساحه قوهء جاذبه قرار گرفته است. شدت ساحه جاذبه ( ) کمیت فزیکی است که در واقع مشخصه مقداری ساحه جاذبه در هر یکی از نقاط آن می باشد. کمیت مذکور که یک کمیت وکتوری است اندازه گیری آن به اساس قوه ای صورت می گیرد که توسط آن ساحه جاذبه بالای جسم امتحانی واحد کتله در نقطه داده شده ساحه عمل می کند. (م 3)

بنابر این، هر گاه بالای جسم امتحانی کتله m از طرف ساحه قوه عمل نماید، شدت ساحه مساوی می شود به:
لذا با تعویض قیمت از رابطه 1 دریافت می شود که:
بناء گردیده که مودل آن عبارت از بوده و نشان می دهد که وکتور شدت ساحه جاذبه به طرف مرکزی جهت دارد که در آن منبع نقطوی ساحه واقع است. همچون ساحه ها را ساحه مرکزی می نامند. از اینکه قوه جاذبه وقتی بالای جسمی به کتله m عمل نماید به آن تعجیل سقوط آزاد می دهد، پس با تطبیق قانون دوم نیوتن داریم که: ، در صورتی که است لذا:

بنابر این، می توان گفت که تعجیل سقوط آزاد تابع کتله و طبیعت جسم سقوط کننده نیست. یعنی تمام اجسام با عین تعجیل سقوط می نمایند که این تعجیل تابع فاصله جسم سقوط کننده و کتله جسم است که ساحه را ایجاد نموده است. بدین ترتیب از مقایسه افاده ها برای و نتیجه می شود که شدت ساحه جاذبه مساوی به تعجیل سقوط آزاد بوده ، که نتیجه مذکور یک نتیجه عدم تفکیک نسبت به کتله های عطالتی و جاذبوی می باشد. باید خاطر نشان ساخت که در میخانیک نیوتن ساحه های جاذبوی از پرنسیپ تجمع (superposition) پیروی می کند که نظر به آن ساحه هایی که توسط چندین منبع نقطوی ایجاد گردیده است بدون تحریف یکدیگر با هم جمع می شود. به عبارت دیگر ساحهء منبع نقطوی داده شده تابع موجودیت یا عدم موجودیت ساحه های منبع های دیگر نمی باشد. به این ترتیب شدت ساحه کلی که بواسطه چندین منبع نقطوی ایجاد شده است مساوی به حاصل جمع شدت ساحه های هر کدام از منبع های جدا گانه است یعنی:

اما در تیوری جاذبه انشتین پرنسیپ تجمع فقط برای آن عده از ساحه ها صدق می کننند که ایجاد کننده آنها کتله های کوچک باشند و ساحه های کتله های بزرگ با جمع نمودن نظر به تیوری مذکور یکدیگر را تحریف می نمایند.

همچنان در فورمول بندی قانون جاذبه جهانی فرض می گردد که تغییر آنی موقعیت یکی از اجسام در حال تأثیر متقابل منتج به تغییر لحظوی قوهء می گردد که بالای جسم دوم عمل می نماید. به عبارت دیگر عمل یا تأثیر از سوی یک جسم به جسم دیگر بصورت لحظوی انتقال می نماید، که در واقعیت چنین نیست، زیرا عمل (تأثیر) کیفی نمی تواند با سرعت بلند تر نسبت به سرعت نور انتقال نماید. بدین ملحوظ است که قانون جاذبه جهانی ساحه تطبیق محدود داشته یعنی برای اجسام ساکن و یا در حال حرکت کُند (بطی) صادق می باشد. در آخر باید ذکر نمود که یکی از خواص ویژه و مهم ساحه جاذبه این است که بر عکس ساحه های دیگر (برقی، مقناطیسی و...) ساحه جاذبه را نمی توان توسط هیچ چیزی حایل و مسدود ساخت، بلکه در داخل هر جسم کیفی نفوذ و از آن عبور می کند. (م 4)

یکی از مشخصه های دیگر جاذبه، پوتانشیل آن می باشد، که بنام مشخصه انرژیکی آن یاد می شود و برابر به انرژی پوتانشیلی φ است که واحد کتله در نقطه داده شده ساحه دارا می باشد.

جهت وضوح بیشتر و دریافت رابطه ریاضیکی موضوع مذکور، به محاسبه کاری می پردازیم که جسم با کتله m در ساحه جاذبه از نقطه 1 که دارای شعاع وکتور است به نقطه 2 که دارای شعاع وکتور می باشد، تغییر مکان نموده باشد.

(شکل 6)

کاری که با کتله m در ساحه جاذبه از نقطه 1 به

نقطه 2 با شعاع وکتورهای r₁ و r₂ انجام شده .

=
در این صورت کار ابتدای dA در تغییر مکان کوچک برابر است به:

از این که قوه در اینجا قوه جاذبه است لذا:
بدین ترتیب کار کلی بین نقاط 1 و 2 مساوی است به:

چون قوه جاذبه، قوه کانسروتیف است، بناء کار اجرا شده آن مساوی به میزان نزول انرژی پوتانشیل است یعنی:

A_1,2= E^p₁-E^p₂………………………………….(3)

از مقایسه روابط 2 و 3 حاصل می شود که:

E^p₁= , E^p₂=

بنابر این، انرژی پوتانشیل جسم با کتله m که به فاصله r از جسم M قرار دارد از رابطه (4) ................E_p =

حاصل می شود، از شکل ظاهری رابطه 4 دیده می شود که مقدار انرژی پوتانشیل با بزرگ شدن و کوچک شدن فاصله r معکوساً متناسب است، در حالی که چنین نیست. زیرا انرژی پوتانشیل منفی بوده، بدین لحاظ مقدار آن با بزرگ شدن و کوچک شدن فاصله r رابطه مستقیم دارد. بنابر این، در صورتی که r=∞ گردد، انرژی پوتانشیل برابر به صفر =0 ϕ می شود.

نظر به تعریف، پوتانشیل ساحه مساوی به انرژی پوتانشیل واحد کتله در نقطه داده شده ساحه است. یعنی:

بناءً (5) ...................................

دیده می شود که پوتانشیل ساحه از فاصله r و کتله جسمی که ساحه را ایجاد کرده است تابعیت می کند و انرژی پوتانشیل معینی در هر نقطه ساحه اختصاص داده شده است، لذا هر جسمی که در نقطه کیفی ساحه قرار بگیرد انرژی آن با انرژی همان نقطه برابری دارد. در آخر ی باید یاد آور شده که انرژی پوتانشیل که ذریعه رابطه 4 ارائه گردیده متعلق به سیستم دو ذره ای است که از انرژی پوتانشیل هر ذرهء منفرد آن فرق داشته و هیچ راه و طریقه برای تقسیم این انرژی به نحوی که گفته شود، چه مقدار آن به یک ذره و چه مقدار آن به ذره دیگر مربوط می شود، وجود ندارد. لیکن اگر باشد، مثلاً اگر کره زمین را با کتله M و یک توپ والیبال را با کتله m در نظر بگیریم، در آن صورت اکثراً از انرژی پوتانشیل توپ والیبال صحبت می شود. زیرا وقتی توپ والیبال در نزدیکی سطح زمین حرکت می کند، تغییرات انرژی حرکی کره زمین خیلی کوچک بوده (قابل اندازه گیری نیست) بناءً تغییرات انرژی پوتانشیل سیستم توپ والیبال-کره زمین تقریباً بطور کامل بصورت تغییرات انرژی حرکی توپ والیبال ظهور می کند.

به همین دلیل است که از انرژی پوتانشیل ما هواره های مصنوعی که به گرد زمین در حال گردش است صحبت می شود، نه از انرژی پوتانشیل هر دوی آن (کره زمین و ماهواره).اما وقتی انرژی پوتانشیل اجسامی مطرح باشد که کتله های آنها قابل مقایسه باشد، در این صورت باید متوجه بود که آنها را بصورت یک سیستم در نظر گرفت اگر سیستمی باشد که در آن بیشتر از دو ذره باشد، در این صورت جهت محاسبه انرژی پوتانشیل آنها طوری عمل می شود که هر جفت آن را بدون در نظر داشت ذرات دیگر شامل در سیستم باید در نظر گرفت و انرژی پوتانشیل مربوط را از رابطه 4 یعنی: φ= محاسبه کرده در آخر برای دریافت انرژی پوتانشیل کل سیستم، آنها را به شکل الجبری باید جمع نمود.

مثلاً نظر به شکل مقابل:

شکل (7)

سیستم سه ذره ای، انرژی پوتانشیل جاذبه ای این سیستم برابر

با مجموع انرژی های پوتانشیل هر سه جفت ذره است.

می توان نوشت ::+

همچنان انرژی پوتانشیل جاذبه، مستقل از مسیر طی شده است. زیرا کار A انجام شده توسط یک قوه کانسروتیف (که قوه جاذبه جزء آن است) مستقل از مسیر واقعی طی شده توسط آن قوه است، بناءاً تغییر انرژی پوتانشیل جاذبه ای φ∆ نیز مستقل از مسیر طی شده است. (م 7)

شکل (8)

کار انجام شده هنگام حرکت یک ذره از

A تا E، مستقل از مسیر است.