کتاب حساب

ریاضیات هم علمست و هم لسان، زیرا قرآن عظیم الشأن به لسان ریاضی یعنی حروف ابجَد نیز نازل گردیده است. طوریکه انسان ها از ابتدای پیدایش شان به لسان ریاضی یعنی حروف با این علم متبرک آشنائی پیدا نموده اند.

می خواهم از بعضی دانشمندان بر جسته شرق و غرب همچو خیام، ارسطو، جورج کانتور، ویرس ترس، اسحق نیوتن، ولیم لبنز، لیونارد، اقلیدس، دیکارت، پاسکال، البیرونی و دیگران نام برد که خدمت بزرگ به جهان بشریت نمودند. بالخــــصوص محمد ابن موسی خوارزمی که توانست مطالب جبری را و همچنان در یافت جذور معادلات درجه دوم را به سایر علاقمندان ریاضی تدوین کند.

وی کتاب خویش را تحت عنوان جبرالمقابله (مقابله الجبر با سایر علوم) به همه علاقمندان تقدیم نمود که بعداً از «المقابله» صرف نظر و به «الجبر» شهرت یافت.

ریاضیات در چهار بخش (حساب، الجبر، هندسه و مثلثات) تقسیم گردیده که با همدیگر ارتباط خیلی نزدیک دارند.

حساب یکی از بخش های عمده و اساسی در ریاضیات به شمار میرود. علمیست که در باره مقادیر اعداد (مقدار اعداد) بحث می کند و نتایج آن سر تا پا ذریعه اعداد ارائه میگردد.حساب: شاخه ی ابتدائی ریاضیات بوده که نتیجه پیمانش واندازه گیری کمیات رابه عدد نشان می دهد.حساب: حساب را علم اعداد نیز می گویند زیرا ازشمارش اشیا واعداد بحث می کند.عدد: Numberعدد، مفهوم یا مفکوره ذهنی است که تعداد اشیا واشخاص رانشان می دهد ویاعدد مفهوم ریاضیکی است که نتیجه پیمایش واندازه گیری کمیات رانشان می دهد.سمبول عدد: عبارت از ترسیم عدد و یا شکل آن می باشد. قابل تذکر است اینکه در مناطق مختلف سمبول های مختلف وجود دارند که به طور نمونه چند نوع آن را ذیلاً بیان می نمائیم.1- اعداد به سمبول شرقی: 2- اعداد به سمبول غربی: 3- اعداد به سمبول رومی:X IX VIII VII VI V IV III II I10 9 8 7 6 5 4 3 2 1XX XIX XVIII XVII XVI XV XIV XIII XII XI20 19 18 17 16 15 14 13 12 11CCC CC C XC LXXX LXX LX L XL XXX300 200 100 90 80 70 60 50 40 30MMM MM M CM DCCC DCC DC D CD3000 2000 1000 900 800 700 600 500 400
درعلم حساب ازاعداد به دوطریقه ذیل استفاده نمود.اعداد مقید (مشخص): به اعدادی گفته می شود که با واحد به کار رود ، یا عبارت ازاعدادی اند که به یک شی مشخص دلالت می کنند. مثلا: 5 نفر، 10 کتاب، 98 قلم و غیرهاعداد مطلق (مجرد): به اعدادی گفته می شود که بدون واحد به کار رود. یا به عبارت دیگربه کدام شی معین منسوب نگردد. مثلا: 5، 10، 98 و غیرههمچنان اعداد به سه شکل ذیل مورد استفاده قرارمی گیرد. اعداد اصلی: Cardinal Numberبه اعدادی گفته می شود که برای نشان دادن مقدار یا تعدداد اشیااستفاده می شوند. مثلاً 5،6 سیرشکر.... وغیره. اعداد ترتیبی Ordinal numberبه اعدادی گفته می شود که برای نشان دادن ترتیب ودرجه اشیا استفاده می شوند مثلاً اول، دوم ، ششمین.... وغیره اعداد توزیعی Distributive Numberبه اعدادی گفته می شود که ازتکرارعدد اصلی حاصل می شوند مثلاً یک یک، دو دو...وغیرهنوت: ست اعداد دارای انواع واقسام مختلف بوده که قرارذیل میباشد. اعداد طبیعی: Natural Numberعبارت ازعددی است که برای شمارش اشیا واشخاص به کارمی رود. وبه سمبول IN نمایش می دهد.IN= (1,2, 3, 4,5, 6,7…..α)اعداد طبیعی به دونوع بوده (اعداد طبیعی طاق وجفت) که قرارذیل است. اعداد طبیعی جفت Even numberعبارت ازعددی است که ازفورمول (2n) به دست می آید. مثال: A = (2,3,6,8……….2n) اعداد طبیعی طاق Odd numberعبارت ازعددی است که ازفورمول (2n-1) به دست آید. یا اینکه ازاعداد جفت یک واحد تفاوت داشته باشد.B = {1,3,5, 7, ……..(2n-1)}اعداد مکمل Whole numberاعداد طبیعی همراه با صفررا اعداد مکمل گویند. که به سمبول W نمایش میدهد.W = {0,1,2,3,4………………..α}اعداد تام integer numberتمام اعداد مثبت و منفی به شمول صفر را اعداد تام می گویند. اعداد تام به دونوع میباشد.اعداد تام مثبت positive interger عبارت ازاعدادی است که ازصفر به سمت راست اعداد قراردارد ویا اینکه اعداد طبیعی را بنام اعداد تام مثبت می نامند. اعداد تام منفی Negative integerبه اعداد گفته می شود که ازصفر به سمت چپ محورقراردارد. نوت: چون صفر بدون علامه بوده نه اعداد تام مثبت است ونه اعداد تام منفی.اعداد کسری: Fraction Numberاعداد که به شکل نمایش داده شود که واحد نامکمل اشیا نشان میدهد.2/3 ، 4/7، 0.85 اعداد نسبتی (ناطق): Rational Number اعداد که موقعیت آن را روی محوراعداد دریافت نموده بتوانیم، یا به عبارت دیگر به مجموع اعداد کسری واعداد تام اعداد ناطق گفته می شود وبه Q نمایش داده می شود. طوریکه یعنی در شکل اعشاری محدود باشد. اعداد غیر نسبتی (غیرناطق): Irrational Numberاعدادی که در شکل ناطق و یا نسبتی آمده نتواند بلکه اعشاریه نا محدود باشد. و متوالی هم بوده نمی تواند. زیرا متوالی می تواند در شکل یک کسر و نسبتی در آید. * و ست آن را توسط نشان می دهند. اعداد حقیقی: Real Number اتحاد تمام اعداد طبیعی، تام، نسبتی و غیر نسبتی را اعداد حقیقی گویند. به IR نمایش داده می شود. یا اینکه IR= Q Ս Q’ اعداد حقیقی Ideal Numberبه اعداد گفته می شود که روی محوراعداد نمایش داده نشود وبه دونوع است. اعداد موهومی: Imaginary Numberبه اعداد گفته می شود که به صورت حقیقی مفهوم نداشته باشد ویا اعدادی که به شکل (ai) نمایش داده شود . طوریکه i^2=-1=> i= √(-1) باشد اعداد موهومی نامیده می شود. که درآن a جزحقیقی اعداد موهومی می باشد.مثلاً : √15i, 4√(-1), 4i, اعداد مختلط:Complex Number از ترتیب اعداد موهومی و اعداد حقیقی بدست می آید که جدید ترین نوع از اعداد است. به شکل (a+bi) نمایش داده می شود.
بخش موهومی ترکیب بخش حقیقی
مفاهیم اولیهآنچه راکه بادرک ، تصویرکردن ویا ازطریق مشاهده شناخته وبدون تعریف میپذیریم یک مفهوم اولیه یا یک مفهوم تعریف ناشده مینامیم.کمیت:(Quantity) از مفاهیم اولیه حساب به شمار میرود. هر چیزیکه قابل اندازه و یا پیمایش باشد کمیت نامیده می شود مانند: حجم، کتله، طول، زمان و غیرهواحد: (unit)مقدار معین برای اندازه کردن اشیاء بکار میرود. و به چند نوع می باشد. مانند:واحد طول: ملی متر، سانتی متر، دیسی متر، متر و.....واحدات حجم: ملی مترمکعب، سانتی مترمکعب، مترمکعب و....واحدات وزن: گرام، کیلوگرام، تن و...واحدات مایعات: سی سی لیتر و...واحدات زمان یا وقت: ثانیه دقیقه، ساعت ، شبانه روز، هفته و...واحدات نقودیانقدی: افغانی، روپیه، ریال، دالر، مارک و…
انسان ها جهت رفع مشکلات خویش خواندن و نوشتن را ایجاد کردند. جهت خواندن اعداد در نخست عدد مورد نظر را از راست به چپ سه سه خانه جدا کرده، و از چپ به راست با ذکر نام طبقه و افزود حرف (و) عدد خوانده میشود. به خاطر داشته باشید که از خواندن صفر و طبقه اول یعنی واحد جداً خود داری کنید. طوریکه هر طبقه از 3 قسمت تشکیل گردیده است.طبقه اول طبقه دوم طبقه سوم طبقه چهارم*واحد هزار ها ملیون ها ملیارد هایکاً دهاً صداً هزاراً ده هزارً صد هزاراً ملیوناً ده ملیوناً صد ملیوناً ملیارداً ده ملیارداً صد ملیارداً
مثلاً: اعداد ذیل را بخوانید.124723654 چنین خوانده میشود
124 ملیون و 723 هزار و 654هم چنان برای خواندن عدد داریم که9 بلیون و 1 ملیارد و 245 ملیون و 170 هزار و 2
تمرین: در صنف بالای شاگردان کار شود.
4) چهل و هشت ملیون و هفت صد و سه هزار ( ) 5) نودو پنج ملیارد و نه صد ملیون و چهارهزار ( ) 6) پنجاه و سه ملیون و یک ( ) 7) سه صد هزار و هشت ( )8) شصت و سه هزار و چهار صد و سه ( )9) نه بلیارد و سه صد میلون و سه هزار و سه ( )10) سی بلیون و سی ملیون و سی ( )


عملیه جمع عملیه تفریق عملیه ضرب عملیه تقسیم(اضافه کردن) (کم کردن) (چند برابر کردن) (حصه کردن)
1) عملیه جمع (Addition) :جمع عملیه اول از اعمال اربعه بوده که در لغت یکجا کردن و اضافه نمودن را گویند و در اصطلاح ریاضی یکجا نمودن اشیاء همجنس را جمع گویند.علامه جمه (+)

مثال: احمد 85 افغانی دارد. کاکایش 30 افغانی برای وی هدیه می دهد شمار دریابید که نزد احمد چند افغانی وجود دارد؟ (+_30^85)/115حل بطریقه سطریمثالها: 745301 910005 3890 4002 20000 301 769191 914308میزان در عملیه جمع: جهت صحت بودن سوال (میزان) از خاصیت تبدیلی استفاده نمائید، یعنی جای اجزاء جمع را تغیر دهید. اگر در حاصل جمع کدام تغیر وارد نشد، سوال ما صحت دارد.یعنی: کار صنفی: بالای شاگردان سر تخته کار شود. 5) کدام یک قابلیت جمع شدن را دارد؟ خواص عملیه جمع:خاصیت اول (ست اعداد):- ست اعداد تحت عملیه جمع یک ست بسته است.مثلاً: 6 = 2+4
0
خاصیت دوم (تبدیلی) :- هر گاه جای اجزاء جمع را در عملیه جمع تغیر دهیم در حاصل جمع کدام تغیری رونما نمی گردد. مثلاً a+b = b+a خاصیت سوم (اتحادی): هر گاه در عملیه جمع از دو عدد اضافه تر گردد از قوس ها استفاده می نمائیم. مثلاً: خاصیت چهارم (عنصر عینیت): عنصر عینیت در جمع به عددی گفته میشود که اگر با هر عدد جمع گردد در نتیجه دوباره خود عدد بدست آید. مثلاً: عنصر عینیت در جمع به صفر گفته میشود. مثلاً 2) عملیه تفریق (Subtraction) :تفریق عملیه دوم از عملیات اساسی یا اعمال اربعه می باشد که در لغت کم کردن و در اصطلاح حساب کم کردن اشیاء هم جنس (عدد کوچک از عدد بزرگ) را تفریق گویند.علامه تفریق می باشد.


مثال: احمد 25 افغانی داشت و 15 افغانی را برای محمود برادر کوچک خود داد. و یا : حل بطریقه سطری : 10 = 15 - 25 مثال ها:- عملیه تفریق را انجام دهید. و یا (-_( 250)^1000)/( 750) ویا (-_( 90701)^902741)/812040
تمرین:
خواص عملیه تفریق:خاصیت اول: به هر اندازه که بالای مفروق منه یک عدد علاوه گردد به همان اندازه بالای حاصل تفریق همان عدد علاوه می گردد. مثلاً: خاصیت دوم: به هر مقدار که بالای مفروق علاوه گردد به همان اندازه از حاصل تفریق کم می گردد. مثلاً: خاصیت سوم: اگر عین مقدار را به مفروق منه و مفروق علاوه نمائیم در حاصل تفریق کدام تغیری رونما نمی گردد. مثلاً: خاصیت چهارم: صفر در عملیه تفریق رول عمده را بازی می کند و عنصر عینیت در تفریق نیز صفر است. میزان در عملیه تفریق: جهت میزان نمودن سوال تفریق طوری عمل نمائید که حاصل تفریق را جمع مفروق کرده اگر مفروق منه را حاصل دهد سوال درست است و در غیر آن سوال صحت ندارد. مثلا:
(-_1249^5893)/4644------------→ (+_1294^4644)/5893
خاصیت عینیت در تفریق: به عددی گفته میشود که هرگاه از کدام عدد تفریق شود نتیجه خود همان عدد باشد.یعنی: یاداشت: بخاطر داشته باشید که عدد تفریق با خودش مساوی به صفر است.
3) عملیه ضرب در اعداد حسابی (Multiplication):ضرب عملیه سوم از اعمال اربعه به حساب میرود. درلغت زدن و در اصطلاح علم حساب آسانترین طریقه جمع اعداد مکرر را ضرب گویند.علایم ضرب:


مثلاً: قیمت یک کتاب 25 افغانی است، قیمت 3 کتاب را دریابید؟حل: قیمت 1 کتاب 25 افغانی 25 3 قیمت 3 کتاب 75 افغانی 75
25 مراتبه 3 جمع گردد ضرب در اشکال مختلف: طوریکه در مثال های فوق ضرب به عدد 25 مضروب و به عدد 3 مضروب فیه گفته میشود. مثال:

تبصره: قابل تذکر است اینکه در ضرب نمودن اعداد که دارای ارقام زیاد صفر اند طوری عمل نمائید که فقط عدد غیر صفر مضروب و مضروب فیه را ضرب نمائید ودر حاصل ضرب به همان اندازه صفر ها که صرف نظر کرده بودید علاوه نمائید. یعنی
تمرین: در صنف کار شود.
1- خاصیت تبدیلی: ضرب دارای خاصیت تبدیلی است یعنی هر گاه جای مضروب و مضروب فیه را تغیر دهیم در عملیه ضرب کدام تغیر وارد نمی گردد. مثلاً: ویا پس 2- خاصیت اتحادی: هر گاه در عملیه ضرب از دو عدد زیاد تر گردد از قوس ها استفاده به عمل می آید. مثلاً: 3- خاصیت ست اعداد: ست اعداد تحت عملیه ضرب یک ست بسته است. مثلاً:

4- خاصیت «یک»: هر عدد ضرب یک عبارت از خود همان عدد است. پس عدد یک عبارت از عنصر عینیت در ضرب است. زیرا ضرب عدد با یک خود همان عدد است.مثلا: 5- خاصیت صفر در ضرب: هر عدد ضرب صفر، حاصل ضرب، صفر است. یعنی: مثال: 6- خاصیت توزیعی: هر گاه در عملیه ضرب اعداد در حال جمع و تفریق ظاهر گردند میتوان آن عدد را ضرب هر یکی از حدود جمع یا تفریق شونده ها نمود و نتیجه را با هم جمع و تفریق کرد.
مثال:
میزان در عملیه ضرب: جهت صحت بودن و یا صحت نبودن ضرب از خاصیت تبدیلی استفاده نمائید.یعنی: میزان 4) عملیه تقسیم در اعداد حسابی (Division) :تقسیم عملیه چهارم از عملیات اساسی در حساب به شمار میرود. در لغت حصه کردن و در اصطلاح علم حساب حصه نمودن یک شی را به چند حصۀ مساوی انجام دادن عملیه تقسیم گویند.علایم تقسیم: تقسیم در اشکال مختلف نشان داده میشود.


طوریکه در اینجا به عدد 40 مقسوم، به عدد 2 مقسوم علیه و به عدد 20 خارج قسمت گفته میشود. قابل تذکر است اینکه خلاصه عملیه تفریق را تقسیم گویند بشرط آنکه مفروق مکرر یا تکراری باشد.مثال ها:


تبصره: هر گاه در انجام دادن عملیه تقسیم باقی در حاصل تقسیم موجود نباشد و در مقسوم صفر ها باقی مانده باشد در خارج قسمت منتقل می گردد.مثلاً:

و هم چنان اگر در اجرای عملیه تقسیم عدد از مقسوم پائین نبوده و باز هم از عدد مقسوم علیه کمتر گردد، اگر عدد دیگر در مقسوم باشد پائین می کنیم به شرط آنکه در خارج قسمت صفر را فراموش نکنیم. خواص عملیه تقسیم:تقسیم چندین خاصیت دارد که از جمله چند خواص مهم آنرا برایتان بر گزیده ایم.خاصیت اول: هر عدد تقسیم خودش مساوی است به یک:یعنی: مثال: خاصیت دوم: هر عدد تقسیم یک در خارج قسمت خود همان عدد است.یعنی: مثال: خاصیت سوم: هر عدد تقسیم صفر در نتیجه بی معنی، بی مفهوم و می گردد.یعنی: بیهوده ، مثال: بیهوده خاصیت چهارم: صفر تقسیم عدد در خارج قسمت بدست آمده صفر است.یعنی: مثال:
میزان در عملیه تقسیم: جهت به اثبات رساندن حل سوال تقسیم چنین عمل می نمائیم:(خارج قسمت × مقسوم علیه ) + باقی مانده = مقسوم شود
تمرین: در صنف بالای شاگردان کار شود:
قابلیت تقسیم بر بعضی اعدادهر گاه یک عدد به عدد دیگر پوره قابل تقسیم باشد گفته میشود که عدد اولی قابلیت تقسیم بر عدد دومی را دارد. به طور مثال:I – قابلیت تقسیم بر صفر: هیچ عددی نمیتواند قابلیت تقسیم بر عدد 0 «صفر» را داشته باشد زیرا بی معنی است.II – قابلیت تقسیم به عدد 1: همه اعداد قابلیت تقسیم به عدد یک را دارد. مثلاً:
III – قابلیت تقسیم به عدد 2: عددی به 2 قابل تقسیم است که رقم اول یا یکهای آن اعداد جفت یعنی باشد. مثلاً اعداد: IV – قابلیت تقسیم بر عدد 3: عددی می تواند به 3 پوره قابل تقسیم باشد که مجموع ارقام اش به 3 قابل تقسیم باشد. مانند اعداد: چون حاصل جمع ارقام عدد 1101 به 3 پوره تقسیم می گردد بناءً خود عدد نیز قابلیت تقسیم به عدد 3 را دارد.V – قابلیت تقسیم بر عدد 4: عددی به 4 پوره تقسیم می گردد که رقم یک ها و ده های آن صفر باشد و یا دو رقم اول آن قابلیت تقسیم بر عدد 4 را داشته باشد. مانند اعداد: VI – قابلیت تقسیم بر عدد 5: هر عددیکه رقم اول آن یعنی یک ها از طرف راست عدد 5 یا صفر باشد پوره قابلیت تقسیم بر عدد 5 را دارا است. VII – قابلیت تقسیم بر عدد 6: عددی بر 6 پوره قابل تقسیم است که همزمان قابلیت تقسیم به اعداد 2 و 3 را داشته باشد. مثلاً: عدد 120 به 6 پوره قابل تقسیم است زیرا هم به 2 قابل تقسیم است و هم به 3 ، بناءً به 6 هم تقسیم می گردد. مانند اعداد ذیل: VIII – قابلیت تقسیم بر عدد 7: هر گاه رقم اول یک عدد را از طرف راست حذف و عدد حذف شده را دو چند نموده و عدد دو چند شده را از متباقی حدود باقی مانده تفریق کرده و باز هم این پروسه را ادامه دهیم اگر عدد حاصله بر 7 تقسیم گردد، آن عدد قابلیت تقسیم به عدد 7 را دارا است.مثال: عدد 301 زیرا: رقم یک ها را حذف 301 و دو باره دو چند می 2 - 28چون عدد 28 بر 7 پوره تقسیم میشود بناءً عدد 301 نیز قابلیت تقسیم به اساس عدد 7 را دارد.مثل اعداد ذیل: IX – قابلیت تقسیم بر عدد 8: عددی به 8 پوره قابل تقسیم است که سه رقم اول از طرف راست آن صفر و یا عددی باشد که بر 8 پوره قابل تقسیم باشد. مانند اعداد: X – قابلیت تقسیم بر عدد 9: اگر مجموعه ارقام یک عدد بر 9 تقسیم شود آن عدد قابلیت تقسیم بر عدد 9 را دارد. مانند اعداد: XI – قابلیت تقسیم بر عدد 10: عددی بر عدد 10 پوره قابل تقسیم است که رقم یک های آن صفر باشد. مانند اعداد: XII – قابلیت تقسیم بر عدد 11: اگر حاصل تفریق مجموعه های مراتب طاق و جفت ارقام یک عدد به 11 تقسیم گردد آن عدد پوره قابلیت تقسیم به اساس عدد 11 را دارد. مثلاً: مجموع مراتب طاق 5=0+5 1045 مجموع مراتب جفت 5=4+1 چون صفر به عدد 11 تقسیم می گردد بناءً عدد 1045 پوره قابلیت تقسیم بر عدد 11 را دارد.و یاهم اعداد: XIII – قابلیت تقسیم بر عدد 12: عددی بر 12 پوره قابل تقسیم است که همزمان بر اعداد 3 و 4 تقسیم گردد. مثلاً: عدد 324 بر عدد 12 تقسیم می گردد زیرا همزمان هم بر 3 و هر بر 4 قابل تقسیم است.و یا هم اعداد مانند: XIV – قابلیت تقسیم بر عدد 13: اگر رقم اول یک عدد را حذف و چهار چند آن عدد را با متباقی آن جمع نموده و این عمل را الی اخیر ادامه دهیم اگر حاصل صفر و یا عددی گردد که به 13 تقسیم شود آن عدد نیز بر 13 پوره قابل تقسیم اند.مثل عدد 13481 رقم اول حذف 1 13481 چهار چند یک 4 + حذف 1352 چهار چند 2 8 + حذف 143+ چهار چند 3 12 + 26چون عدد حاصله 26 بر 13 پوره قابل تقسیم است بناءً خود عدد 13481 نیز بر 13 پوره قابلیت تقسیم را دارد.XV – قابلیت تقسیم بر عدد 14: هر عددیکه همزمان قابلیت تقسیم بر اعداد 7 و 2 را داشته باشد آن عدد قابلیت تقسیم بر عدد 14 را دارد. مثلاً عدد: 1400
1400÷7=200 1400÷2=700 و یا هم اعداد مانند: XVI – قابلیت تقسیم بر عدد 15: عددی بر 15 پوره قابل تقسیم است که همزمان بر اعداد 3 و 5 پوره قابل تقسیم باشد. مثلاً عدد: 1110 زیرا و یا هم اعداد: XVII – قابلیت تقسیم برعدد 17: عددی بر 17 پوره قابل تقسیم است که دارای شرایط ذیل باشد.رقم اول را حذف نموده پنج چند شود ، بعد از باقی مانده تفریق شود.

مثالهای ذیل را حل نمائید.1075386، 62584،424 -XVIIIقابلیت تقسیم بر عدد 19: عددی بر 19 پوره قابل تقسیم است که بعد از نکات آتی بر 19 پوره قابل تقسیم باشد 1- رقم اول از طرف راست را حذف نمائید.2- رقم حذف شده را دو باره دو چند نمائید.3- با متباقی آن جمع گردد.مثلا: عدد 195719 چنین عمل می نمائیم. 195719 18 + 19589 18 + 1976 12 + 209 18 + 38 چون عدد حاصله یعنی 38 بر 19 تقسیم می گردد بناءً خود عدد قابلیت تقسیم بر عدد 19 را دارا می باشد.شاگردان ممتاز در صنف! قابلیت های تقسیم بر عدد 18 و دیگر اعداد را از روی عوامل ضربی شان دریابند.قوس در ریاضی: جهت اجرای درست عملیه ها از قوس ها استفاده به عمل می آید. طوریکه در ریاضی سه قوس، قوس کوچک ( )، قوس متوسط [ ] و قوس بزرگ { } وجود دارد که جهت ساده سازی از قوس کوچک شروع و به قوس بزرگ ختم می گردد.

آسان ترین طریقه ضرب اعداد مکررا توان یا طاقت گویند که به شکل ساده به توان نوشته شده می تواند. مثلاً اگر را عدد فرض کنیم اگر بی نهایت به نفس خود ضرب گردد چنین به شکل توان ارائه می گردد. مراتبهطوریکه در اینجا را بنام قاعده یا (Base) ، را نما یا (Power) و را طاقت نما گویند. قابل تذکر است اینکه نما یا توان نشان میدهد که (Base) یا قاعده چند مراتبه در نفس خود ضرب می گردد.
توان در اعداد طبیعی: نظر به نما، قاعده را ضرب نمائید. مثلاً: مربعات بعضی ازاعداد قرار ذیل است.12 = 1 62 =36 112 =121 162 =25622 = 4 72 =49 122 =144 172 =28932 = 9 82 =64 132 =169 182 =32442 =16 92 =81 142 =196 192 =36152 =25 102 =100 152 =225 202 =4003×3×3=(3)^3=27√a .√a .√a .√a .√a=(√a)^53^2+2^3=3×3+2×2×2=9+8=72توان در اعداد کسری: عین قواعد توان در اعداد طبیعی را دارا می باشد.مثلاً: تبصره: دانش آموزان گرامی! جهت درست فهمیدن توان چند نکته را برای تان برگزیده ایم.1- عددیکه توان نداشت توان، نما و یا آن یک است. مثلاً 2- یک به هر نما که باشد نتیجه دو باره یک است. 3- عدد 10 به هر نما که باشد حاصل نظر به نما صفر ها افزود می گردد. 4- هر عدد به توان صفر مساوی است به یک. یعنی (اگر داشته باشیم جهت ساده سازی آن دو طریقه وجود دارد.)ثبوت Proof: : طریقه اول : طریقه دومدر اثر مقایسه I و II داریم که: می باشد . تمرین: بالای شاگردان در صنف کار شود.

افاده به جمله گفته میشود که هر گاه چهار عملیه اساسی در سوال مشترک ظاهر گردند افاده های عددی یا عملیات مشترک در افاده ها نامیده میشود. که جهت ساده سازی در نخست عملیه تقسیم بعداً ضرب و در اخیر عملیه جمع و تفریق ساده می گردد و اگر قوس ها ظاهر شد طوریکه قبلاً تذکر نمودیم از قوس کوچک ساده سازی را آغاز می نمائیم. بخاطر داشته باشید که اگر عدد توان دار شامل باشد اولاً قبل از عملیات اساسی باید از نما و یا توان رفع گردند. مثلاً:

اعداد اولیه ((Primary Numbers: اعداد اولیه را که اعداد ساده نیز گویند به اعدادی گفته می شود که جز از یک و خودش به عدد دیگر پوره تقسیم شده نتواند. مثل اعداد: زیرا: اگر ازجمله اعداد اولیه یکی آن عدد 13 را در نظر بگیریم، دیده می شود که جز به یک و خودش به عدد دیگری پوره قابل تقسیم نیست.


اعداد مرکب(Compound Number) : عددیکه حد اقل دارای سه عامل ضربی باشد. و یا غیر از یک و خودش به سایر اعداد دیگر نیز تقسیم شده بتواند.مانند اعداد: زیرا: اگر از جمله اعداد مرکب یکی آن 18 را در نظر گیریم، دیده می شود جز از یک و خودش به چند عدد دیگر نیز قابل تقسیم است. 18 سوالات ذیل در صنف کار شود!1) عدد 15 مرکب است؟ چرا؟2) عدد 101 اولیه است؟ چرا؟3) 1002 عدد مرکب است؟ چرا؟4) صفر در اعداد اولیه و مرکب خنثی است؟ چرا؟
تجزیه عبارت از دریافت عوامل اولیۀ عملیۀ ضرب یک عدد مرکب است. که هرگاه این عوامل اولیه ضربی به خودش ضرب گردد، عدد حاصله دو باره عدد مرکب باشد. قابل تذکر است اینکه تنها اعداد مرکب قابل تجزیه است و اعداد اولیه غیر قابل تجزیه می باشد.مثلاً: میخواهیم عدد 60 مرکب را به عوامل اولیه ضربی آن تبدیل کنیم.حل: همه می دانیم که باید از تجزیه استفاده نمائیم زیرا یگانه مبحث تجزیه است که اعداد مرکب را به اولیه آن تبدیل می نماید. در نظر داشته باشید که جهت دریافت عوامل اولیه ضربی یک عدد مرکب سه طریقه وجود دارد. که ذیلاً هر یک را در مثال واضح می نمائیم.الف: حل بطریقه عمودی: ب: حل بطریقه سطری: ج: حل بطریقه دیاگرام:
تبصره: دانش جویان عزیز! دیده میشود که عدد 60 مرکب بوده و به اولیه های تبدیل گردیده طوریکه حاصل ضرب اولیه ها دوباره 60 مرکب را حاصل میدهد.مثال دوم: عدد 180 مرکب را به اولیه آن تبدیل نمائید.الف: ب:
ج: مثال های ذیل را حل نمائید.72، 1400، 9800،
مضرب به مقسوم گفته می شود در حالیکه قاسم به مقسوم علیه. بناءً مضرب های یک عدد از اصل عدد بزرگتر در حالیکه قاسم های عدد کوچکتر از اصل عدد می باشد. مثلاً مضرب های عدد 2 عبارتند از: زیرا. هم چنان برای دریافت قاسم های عدد 8 داریم که: زیرا مثال دوم: مضرب ها و قاسم های عدد 50 را در یابید:حل: مضرب های عدد 50 عبارتند از: و قاسم های عدد 50 عبارتند از:
عبارت از بزرگترین عددیست که تمام اعداد مورد نظر بالای آن پوره تقسیم شده بتواند و جهت دریافت بزرگترین قاسم مشترک اعداد دو طریقه وجود دارد.
طریقه اول: در نخست قاسم های از اعداد مورد نظر را دریافته بعداً بزرگترین عدد مشترک آنرا دریافت می نمائیم. و آن را به حیث بزرگترین قاسم مشترک در نظر می گیریم.مثلاً بزرگترین قاسم مشترک 6 ، 12 ، 18 عبارت اند از: دیده می شود بزرگترین قاسم مشترک بین اعداد 6 ، 12 ، 18 عدد 6 است. در حالیکه کوچکترین قاسم مشترک شان عدد 1 است.
طریقه دوم (طریقه تجزیه منفرد): جهت دریافت بزرگترین قاسم مشترک به این طریقه هر یک از اعداد داده شده را تجزیه نموده و از عامل مشترک که در همه اعداد شان شامل باشد در نظر گرفته طوریکه از توان کوچکتر باشد.مثلاً: بزگترین قاسم مشترک اعداد 6 ، 12 ، 18 را قرار ذیل بدست می آوریم. مثال: بزرگترین قاسیم مشترک اعداد 24 و 36 را دریابید. بزرگترین قاسیم مشترک اعداد 120 ، 140و 180 را دریابید.
طریقه سوم تجزیه همگانی:دراین طریقه اعداد را دریک سطر نوشته وآنها ا به عوامل ضربی اوللیه مشترک شان همزمان تجزیه نموده واین عملیه را تا زمانی ادامه میدهیم که بین اعداد عموامل مشترک باقی نماند ودراخیرعومامل مشترگ را باهم ضرب نموده G.C.D اعداد حاصل می شود.مثال: بزرگترین قاسیم مشترک اعداد 36 و 48 رادریابید.36 - 48 218 - 2429 - 12 33 - 4 مثال: بزرگترین قاسیم مشترک اعداد 180، 360، 720 را دریابید.
720 - 360 - 180 2360 - 180 - 90 2180 - 90 - 45360 - 30 - 15 320 - 10 - 5 54 - 2 - 1 طریقه چهارم (اقلیدس):قدیمی ترین دریافت بزرگترین قاسیم مشترک اعداد است که صرف برای دو عدد استفاده می شود وشامل مراحل ذیل است. اعدد بزرگ را تقسیم عدد کوچک مینمایم یعنی عدد بزرگتررا مقسوم وعدد کوچک را مقسوم علیه درنظرمیگریم مقسوم علیه را تقسیم باقیمانده نموده واین عملیه را تازمانی ادامه میدهیم که باقیمانده صفرگردد. آخرین مقسوم علیه رابه عنوان G.C.D اعداد انتخاب می کنیم.مثال: بزرگترین قاسم مشترک اعداد 72 و 90 را دریابید.


مثال: اعداد 160 و 420 را با استفاده ازطریقه اقلیدس حل نمائید.
جهت دریافت کوچکترین مضرب مشترک اعداد دو طریقه وجود دارد.حل بطریقه اول: درین طریقه مضرب های اعداد مورد نظر را دریافته بعداً کوچکترین آن را که در همه شامل است در نظر می گیریم.مثلاً: کوچکترین مضرب مشترک 12 ، 18 عبارتند از: دیده می شود که کوچک ترین مضرب مشترک بین اعداد 12 و 18 عبارت از 36 است در حالیکه بزرگترین مضرب مشترک آن تعین نگردیده است.حل بطریقه دوم (طریقه تجزیه منفرد): جهت دریافت کوچکترین مضرب مشترک بطریقه دوم طوریست که در نخست اعداد داده شده را تجزیه نموده و از عامل مساوی آن را در نظر گیرید که از حیث توان بزرگ و از عامل های غیر مشترک نیز در نظر گرفته می شود.مثلاً: کوچکترین مضرب مشترک اعداد 12 و 18 را قرار ذیل در یافت می نمائیم. مثال: کوچکترین مضرب مشترک اعداد 60، 90 و 140 را دریابید.60 230 215 35 51 90 245 315 35 51 140 270 235 57 71
طریقه تجزیه همگانی:دراین طریقه اعداد را دریک سطرنوشته وعملیه تجزیه را بالای عوامل مشترک انجام داده تا زمانی ادامه میدهیم که بین هیچ یک ازاجزای اعداد عامل مشترک باقی نماند دراخراعداد طرف چپ خط عمود رابا اعداد قسمت پائین خط افقی اخیرضرب نموده.مثال: کوچکترین مضرب مشترک اعداد 80، 120، 50 را دریابید.

اعداد مورد نظر را تا زمانی تجربه نمائید که اعداد اولیه باقی ماند. پس طرف چپ را ضرب نموده به حیث بزرگترین قاسم مشترک در حالیکه همه آن را ضرب می نمائیم به حیث کوچک ترین مضرب مشترک. جهت درست فهمیدن بهتر به مثال توجه نمائید.بزگترین قاسم مشترک و کوچکترین مضرب مشترک اعداد 18 و 12 را در یک جدول در یابید. تبصره: شاگردان گرامی!سوالات ذیل را تا زمانی حل نمایند که جواب های داده شده را صدق نمایند و یکبار دیگر تذکر می نمایم اینکه: - (کوچکترین مضرب مشترک) - (بزرگترین قاسم مشترک)
تمریناتالف: اعداد ذیل را دریابید.1) اعداد 12 ، 18 ، 42 جواب (252)2) اعداد 9 ، 12 ، 18 جواب (36)3) اعداد 20 ، 35 ، 40 جواب (280)4) اعداد 20 ، 30 ، 40 جواب (120)ب: اعداد ذیل را در یابید:1) اعداد 12 ، 30 ، 48 جواب (6)2) اعداد 900 ، 3474 جواب (18)3) اعداد 2314 ، 3721 جواب (1)4) اعداد 377 ، 1131 جواب (377)
مؤفق باشید تمرینات I – اعداد ذیل را بنویسید.1) بیست و پنج هزار و یک صد و هفت.2) هفتاد و هشت ملیون و نه صد و چهل هزار و یک.3) چهل ملیارد و هفت صد هزار.4) نود و هفت ملیارد و هفت صد هزار.5) هشتاد و هفت ملیون و هشتاد و هفت هزار و سه صد.
II – از چهار جواب فقط یک جواب درست را حلقه نمائید.6) خورد ترین عنصر ست اعداد طبیعی کدام است؟ الف: ب: ج: د: 0 1 0 و 1 هـ7) بزرگترین عنصر ست اعداد تام کدام است؟ الف: ب: ج: د: 0 و 0 8) عنصر عینیت در تقسیم چیست؟ الف: ب: ج: د: 0 1 2 هـ9) عنصر عینیت در تفریق و جمع چیست؟ الف: ب: ج: د: 0 1 0 و 1 هـ10) حاصل جمع دو عدد متضاد همیشه چگونه است؟ الف: ب: ج: د: 0 1 هـ11) الف: ب: ج: د: 0 3 2 512) تجزیه عدد 121 به عوامل ضربی آن کدام ها است؟ الف: ب: ج: د: 13) اعداد 15 ، 9 ، 12 و 18 کدام است؟ الف: ب: ج: د: 120 180 190 103
III - اعداد ذیل را جمع ، تفریق و ضرب و تقسیم نمائید:
IV – از توان رفع نمائید.


V – افاده های عددی ذیل را ساده سازید:
VI – قابلیت تقسیم بر اعداد.51) عدد 7000 به کدام اعداد قابل تقسیم است و چرا؟52) عدد 97100 به کدام اعداد قابل تقسیم است و چرا؟53) عدد 1122000 به کدام اعداد قابل تقسیم است و چرا؟
VII – تجزیه نمائید:54) تجزیه عدد 102 به عوامل ضربی آن کدام ها است؟55) تجزیه عدد 18000 به عوامل ضربی آن کدام ها است؟56) تجزیه عدد 117 به عوامل ضربی آن کدام ها است؟57) تجزیه عدد 495 به عوامل ضربی آن کدام ها است؟58) تجزیه عدد 900 به عوامل ضربی آن کدام ها است
VIII - و اعداد ذیل را دریابید:59) 62) 65) 60) 63) 66) 61) 64) IX – سوالات صحیح و غلط، در مقابل سوالات صحیح ( √ ( و در مقابل غلط ( × ) بگذارید:67) ( ) :- عنصر عینیت در جمع صفر است.68) ( ) :- تفریق دارای خاصیت تبدیلی است.69) ( ) :- تقسیم دارای خاصیت تبدیلی است.70) ( ) :- توان آسان ترین طریقه ضرب اعداد مکرر است.71) ( ) :- حساب علمیست که از عدد بحث می کند.72) ( ) :- ریاضیات به پنج شاخه (حساب، الجبر، فزیک، کیمیا، بیولوژی) تقسیم گردیده است.73) ( ) :- مساوی است به 074) ( ) :- یک به هر توان که باشد دو باره یک است.75) ( ) :- بزرگترین عنصر ست اعداد طبیعی است.76) ( ) :- تجزیه 240 به عوامل ضربی آن عبارت از می باشد. 77) ( ) :- اعداد 343 ، 473 عبارت از 49 است.78) ( ) :- عددیکه همزمان قابلیت تقسیم به 9 و 2 را داشته باشد به 18 پوره قابل تقسیم است.
سؤالات عبارتیعملیات اساسی را در سوالات عبارتی تشخیص نموده حل کنید:1 – احمد 9000 افغانی دارد. پدرش 325 افغانی به او هدیه می دهد. دریابید که نزد احمد چند افغانی موجود است؟2 – سلطان به بازار برای خرید رفت، 20 افغانی را کتاب، 25 افغانی را کتابچه و 10 افغانی را قلم خرید. دریابید که سلطان چند افغانی را به مصرف رسانیده است؟3 – یاسین از مارکیت بار اول 36 پیاله، 48 بشقاب، 7 گیلاس و 10 نان خرید. و بار دوم 50 پیاله، 20 بشقاب، 9 گیلاس و 6 نان و بار سوم 3 پیاله، 10 بشقاب، 9 گیلاس و 5 نان خریداری نمود. دریابید که یاسین چند پیاله، چند قاب، چند گیلاس و چند نان را جمعاً از مارکیت خریداری نموده است؟4 – یوسف 297 کلدار داشت وی 50 کلدار ترکاری، 25 کلدار را نان و 80 کلدار را میوه خرید. دریابید که نزد یوسف چند کلدار باقی است؟5 – حنیف 86 سوره قرآن عظیم الشأن را در دو هفته اول و 48 سوره آنرا در دو هفته آخر ماه تلاوت کرده است. معلوم نمائید که حنیف مجموعاً چند سوره قرآن شریف را تلاوت کرده است؟6 – شخصی برای اعاشه فامیل خود در زمستان مبلغ 9000 افغانی را مواد سوخت، 1250 افغانی را گندم، 6570 افغانی را روغن و دیگر مواد ارتزاقی خریداری نموده است. معلوم کنید شخص مذکور چند افغانی را به مصرف رسانیده است؟7 – یک مکتب از خانه یک شاگرد 567 متر فاصله دارد شاگرد جهت رفتن به مکتب 93 متر فاصله را طی کرده است. معلوم کنید چند متر فاصله دیگر باقی مانده است؟8 – یک نفر 30015 تاک انگور را جهت استفاده اهالی مردم قریه و مسافرین وقف نموده است. هر گاه 2770 تاک انگور مورد استفاده مردم اهالی قریه قرار گرفته باشد معلوم کنید چه تعداد تاک انگور جهت استفاده مسافرین باقی مانده است؟9- یوسف مبلغ 75000 افغانی داشت. مبلغ 2500 افغانی آن از بابت کمک جهت اعمار مسجد قریه، 7000 از بابت کمک به مساکین و 1000 افغانی آن از بابت ذکات پول مذکور به مصرف رسیده. فعلاً نزد یوسف چند افغانی موجود است؟10 – فیس داخله هر مضمون در یک دانشکده 500 افغانی است اگر شخصی 4 مضمون را داخله کند معلوم کنید چقد ر پول باید به دانشکده بپدازد؟11 – یک نفر تاجر 900 صندوق خرما خریداری نمود. اگر در هر صندوق به تعداد 30 دانه خرما باشد معلوم کنید که تاجرمذکور مجموعاً چند دانه خرما خریداری نموده است؟12 – برای مهیا ساختن یک بوتل شیشه ئی 30 گرام ریگ و 10 گرام سودا و 15 گرام چونه را یک جا می کنند. اگر 59 بوتل سازیم چند گرام مخلوط مواد فوق ضروری است؟13 – ذکی 29 جلد کتابچه را از یک دکاندار خریداری نمود. اگر قیمت یک جلد کتابچه 13 افغانی باشد، معلوم کنید که ذکی چقدر پول به دکاندار داده است؟14 – خانه احمد از مکتب 50 متر دور است، اگر احمد توسط بایسکل در 5 دقیقه فاصله را طی نماید معلوم کنید که بعد از چند دقیقه به مکتب خواهد رسید؟15 – یک باغبان (5090) نهال تاک را در یک باغ غرس می نماید. اگر در هر قطار 25 نهال غرس نماید، نهالهای مذکور در چند قطار غرس خواهد شد؟16 – فابریکه گچ در یک روز گچ تولید می کند. اگر در هر خریطه گچ گنجایش داشته باشد معلوم کنید که برای جا دادن گچ مذکور در خریطه در یک روز چند خریطه تقریباً لازم است؟17 – یک تاجر در یک ماه روزانه 2000 کارتن صابون به فروش میرساند. اگر در داخل هر کارتن تعداد 72 کلچه صابون موجود باشد ، تاجر مذکور چند کلچه صابون را در مدت 30 روز به فروش میرساند. اگر قیمت فی کلچه صابون 12 افغانی باشد تاجر مذکور در یک ماه چند افغانی بدست آورده است؟18 – اگر در یک شرکت تجارتی موارد ذیل اتفاق افتد در آخر ماه نزد شرکت چند افغانی موجود خواهد بود؟الف: شرکت مذکور در مدت یک ماه تعداد 25124 کارتن گیلاس دسته دار را از قرار فی کارتن 127 افغانی به فروش رسانیده است.ب: در مدت یک ماه تعداد 825 کیلو وات برق به مصرف رسیده که تاجر مذکور باید در بدل فی کیلو وات برق مبلغ 8 افغانی بپردازد.ج: در مدت یک ماه 25 کارت 5 دالری تیلفون را کارمندان شرکت مصرف نموده است که نرخ دالر به افغانی 51 بوده است.د: در مدت یک ماه معاش مجموعی کارمندان شرکت 225500 افغانی می شود.هـ: مصارف کرایه موتر اجناس و تخلیه و سایر مصارف پرچون بابت اموال به مبلغ مجموعی 325600 کلدار پاکستانی شده است. نرخ کلدار به افغانی 824 افغانی می باشد.در اخیر نزد شرکت مذکور چند افغانی موجود خواهد بود؟




کسر در لغت شکسته را گویند در اصطلاح حساب شکستاندن یک شی را به چند حصۀ مساوی و از آن چند حصه گرفتن را کسر گویند و هم چنان اعداد کسری به اعدادی گفته می شود که در شکل تام یعنی کامل ارائه نگردیده باشد و کسر از لحاظ نوعیت خویش بدو نوع تقسیم شده 1) کسر عام 2) کسر اعشار، که ذیلاً هر یک را توضیح می دهیم.نوع اول: کسر عام (Common Fraction):هر گاه یک واحد تام به چند حصۀ مساوی تقسیم گردیده و چند حصه آن را در بر گیریم چنین مقدار که به کسر نشان داده می شود کسر عام نامیده می شود.که در کسر عام تقسیمات مساوی را بنام مخرج و حصه های گرفته شده را بنام صورت یاد می کنند و خطی که باعث جدائی صورت و مخرج گردیده بنام خط کسری یا Bar نامیده می شود. مثلاً (Nominator) صورت 4 (Denominator) مخرج 5
که در شکل چنین نمایش داده می شود.
و هم چنان برای نشان دادن کسر داریم که:
انواع کسر عام (Kind of Common Fraction):کسر عام نیز از لحاظ نوعیت خویش به دو نوع تقسیم می گردد. کسر عام واقعی: به کسر هائی گفته می شود که مخرج نسبت به صورت بزرگتر باشد یعنی واقعیت داشته باشد. 3/5,4/7,12/13,2- کسر های عام غیر واقعی: به کسر هائی گفته می شود که مخرج آن نسبت به صورت آن کوچکتر باشد. یعنی غیر قابل قبول باشد مانند: کسر زیرا این کسر نشان می دهد یک شی را به دو حصۀ مساوی نظر به مخرج تقسیم کنیم تا بتوانیم که مطلوب خویش را یعنی 7 حصه را بر گیریم.که چنین در شکل نشان داده می شود.

1 2 3 4 تام کسری (Mixed Fraction):طوریکه از نام آن هویداست به عددی گفته می شود که از دو قسمت یکی تام یعنی کامل و دیگری کسر یعنی شکسته تشکل گردیده باشد مانند کسر ذیل: قسمت کسری قسمت تام
مثال ها: در شکل نشان دهید:(واقعی) (غیر واقعی) (تام و کسری) که جهت حل سوالات (تام و کسری) از عملیه غیر واجب استفاده می نمائیم.غیر واجب یا (تجنیس):عملیه غیر واجب طوریست که عدد صحیح یعنی تام ضرب مخرج و حاصل آن جمع صورت می گردد.مثلاً: جهت اجرای عملیه غیر واجب در کسر داریم که:
و کسر غیر واقعی به تام کسریطوریکه قبلاً تذکر نمودیم جهت تبدیل تام کسری به کسر غیر واقعی از عملیه غیر واجب استفاده به عمل می آید و اگر خواسته بایشم کسر را به تام کسری مبدل نمائیم به خاطر داشته باشید که فقط کسر غیر واقعی قابل تبدیل به تام کسری است و آن طوریست که صورت را تقسیم مخرج می نمائیم. و بعداً خارج قسمت را به حیث عدد صحیح در نظر گرفته باقی مانده را بر مقسوم علیه نوشته می نمائیم.مثلاً: را چنین به تام کسری تبدیل می نمائیم. 2 12 5 بناءً 10 2هم چنان دو باره برای تبدیل نمودن تام کسری به کسر غیر واقعی از غیر واجب استفاده به عمل می آید. کسر های معادل: به کسر هائی گفته می شود که از نظر شکل مختلف و مقدار شان با هم مساوی باشد. مانند * که جهت دریافت کسر های معادل برای یک کسر از عملیه ضرب و تقسیم استفاده نمایند. مثلاً زمانیکه خواسته بایشد برای کسر کسر های معادل را به کمک عملیه ضرب و تقسیم ترتیب دهیم. پس داریم که: مثال دوم: برای کسر سه کسر معادل به کمک عملیه تقسیم بنویسید: اختصار (ساده کردن):جهت ساده و یا خلاصه کسر مغلق از اختصار استفاده نموده و کسر مذکور را ساده سازید و آن طوریست که صورت و مخرج را تقسیم عین عدد نمائید. به خاطر داشته باشد که خلاف (1 و صفر) تقسیم باید شود.مثلاً کسور ذیل را اختصار کنید:
ویـــــــــــــــــــــــــــــــا قابل اختصار نیست نوت: شاگردان گرامی! اگر در عملیه اختصار کسر ها، اعداد صفر دار که در شروع باشد مواجه گردیدید. جهت سهولت می توان صفر های صورت و مخرج را با همدیگر خلاص نمود. مثلاً: برای اختصار کسر داریم که: تمرین: در صنف بالای شاگردان کار شود. تبصره: علامات ذیل را به حافظه بسپارید:عدد بزرگتر علامه مساوی =
می توان با استفاده از علامه و = کسر های عام را در سه حالت مقایسه نمود.حالت اول: کسر هائی که دارای مخرج های مساوی باشد کسری بزرگتر است که صورت آن بزرگتر باشد. مثلاً:(زیرا مقدار گرفته شده بزرگتر است)
حالت دوم: کسر هائی که دارای صورت های مساوی اند کسری بزگتر است که دارای مخرج کوچکتر باشد. مثلا: زیرا مقدار یک حصه بزرگتر است از آن که یک شی به دو حصه تقسیم گردد یعنی شی که به دو حصه تقسیم گردد حصه اول نسبت به آن که شی به سه حصه تقسیم گردد بزرگتر است.
حالت سوم: برای مقایسه نمودن کسوریکه دارای صورت و مخرج مختلف باشد. طوری عمل می نمائیم که صورت و مخرج کسر اول را ضرب صورت و یا مخرج کسر دوم به همین ترتیب صورت و مخرج کسر دوم را نظر به کسر اول ضرب صورت و مخرج کسر اول می نمائیم. بدینوسیله نظر به حالت اول و دوم مقایسه می نمائیم.مثلا: برای مقایسه کسر داریم که: تمرین: مقایسه نمائید.



عملیه جمع عملیه تفریق عملیه ضرب عملیه تقسیم کسر عام کسر عام کسر عام کسر عام
I- عملیه جمع و تفریق کسر عام: هر گاه خواسته باشیم کسر های عام را جمع و تفریق نمائیم دو حالیت وجود دارد.حالت اول: (جمع و تفریق مخرج های مساوی): جهت جمع و تفریق نمودن کسوریکه دارای مخرج های مساوی اند طوری عمل نمائید که از مخرج ها یکی را در نظر گرفته صورت ها را با هم جمع و تفریق نمائید.مثلاً: کسر های عمام ذیل را جمع و تفریق نمائید: حالت دوم: (جمع و تفریق مخرج های مختلف): به خاطر جمع و تفریق نمودن مخرج های مختلف نکات ذیل را در نظر گیرید.الف: اولاً کوچکترین مضرب مشترک مخارج داده شده را دریابید.ب: سپس به حیث مخرج عمومی یا مشترک در نظر گیرید.ج: تقسیم هر مخرج نمائید.د: سپس ضرب هر صورت نموده و نتایج را جمع و تفریق نمائید.مثال ها:
در نخست باید غیر واجب شود:
قابل یادآوری است اینکه:به خاطر سهولت جهت جمع و تفریق نمودن یک عدد طبیعی با یک کسر از غیر واجب طوری استفاده نمائید که عدد صحیح ضرب مخرج اگر جمع بود جمع صورت و اگر تفریق بود منفی صورت در صورت بر مخرج نوشته می شود. یعنی: مشق: حل نمائید:



II – عملیه ضرب کسر عام: هر گاه خواسته باشید کسر های عام را ضرب نمائید در نخست قبل از ضرب نمودن اگر قابلیت اختصار را داشت صورت ها را با هر مخرج اختصار سپس صورت با صورت و مخرج با مخرج ضرب می گردد.مثلاً: کسر های عام ذیل را ضرب نمائید. نوت: کسریکه مخرج آن یک باشد دو باره خود عدد است ازین رو عددیکه مخرج نداشت مخرج آن یک است.کار صنفی: در صنف بالای شاگردان کار شود.
III – عملیه تقسیم بالای کسر عام: جهت تقسیم نمودن کسور عام طوری عمل نمائید که مقسوم به حالش عملیه تقسیم به عملیه ضرب تبدیل گردیده و مقسوم علیه را معکوس نمائید و نتیجه را دو باره مانند عملیه ضرب اجرا نمائید.مثلاً: تقسیم نمائید. درحالیکه

طوریکه از نام آن هویداست یعنی کسر بالای کسر. جهت حل کسر اول به حال خودش باقی مانده علامه تقسیم به ضرب تبدیل می شود و کسر دوم معکوس می گردد. مثلاً: نوت: و هر گاه در کسر الکسر از دو کسر اضافه گردد بنام کسر مرکب یاد می گردد. کسر مرکب: سوالات کسر مرکب در دو حالت قرار می گیرد.الف – کسر های مرکب افقی: هر گاه کسر های مرکب در حالت افقی قرار گیرد جهت ساده سازی مانند افاده های حسابی ساده می گردد. مثلاً: حل: ب – کسر های مرکب عمودی: هر گاه بطور پی هم تحت عملیات الجبری قرار داشته باشد از پائین ترین مخرج اقدام به حل می کنیم. مثلاً: تبصره: شاگردان گرامی!کسر های مرکب را بنام کسر های متوالی (Consecutive Fraction) نیز یاد می کنند.کار صنفی: بالای شاگردان در صنف کار شود. نوع دوم: کسر اعشار (Decimal Fraction): کسر اعشار به کسری گفته می شود که مخرج آن یک و صفرها مانند 10 ، 100 ، 1000 ، 10000 ... باشد و عدد اعشار به شکسته گفته می شود که توسط علامه ( , ) رقم مکمل را از رقم اعشاری جدا می نمایند. و عدد اعشاری از لحاظ نوعیت خویش به دو نوع است.نوع اول: عدد اعشاریه محدود: مانند اعداد 5,2 9,32 7,541 ….. نوع دوم: عدد اعشاریه نا محدود: که ارقام اعشاری آن محدود نمی باشد و به دو نوع دیگر تقسیم می گردد.الف: عدد اعشاریه نا محدود متوالی (تکراری): ب: عدد اعشاریه نامحدود غیر متوالی (غیر تکراری):
مقایسه اعداد اعشاری:می توان با استفاده از علامه و یا هم = اعداد اعشاری را با هم مقایسه نمود.طوریکه در نخست عدد مکمل را مقایسه نمائید و اگر نتیجه نمی گیرید به این معنی که اعداد مکمل مساوی ظاهر گردید بعداً رجوع نمائید به اولین رقم اعشاری دهم و اگر باز هم قیمت اعشاری اعداد مساوی بود ناگزیرید که صدم و هزارم را مطالعه نمائید.مثلاً: اعداد ذیل را مقایسه نمائید. تمرین: بالای شاگردان در صنف کار شود.مقایسه نمایند. یادداشت: قابل تذکر است اینکه همیشه ارقام اعشار از عدد یک کوچکتر می باشد.
طریقه خواندن اعداد اعشاری:-جهت درست خواندن اعداد اعشاری در نخست عدد کامل (تام) خوانده می شود سپس نام از اعشاریه برده می شود و بعداً اعدا شکسته بعد از اعشاری چون دهم، صدم، هزارم، ده هزارم....قسمت راست جدا جدا خوانده می شود.مثلاً: برای خواندن و نوشتن عدد 95,2157 داریم که:میلونم صد هزارم ده هزارم هزارم صدم دهم علامه اعشاریه( , ) یکها ده ها صد ها هزار ها ده هزار ها صد هزار ها ملیون ها 7 5 1 2 , 5 9 یعنی: نود و پنج اعشاریه دو ، یک ، پنج ، هفت.
وظیفه خانگی: 1) کسر به چند نوع تقسیم می گردد و انواع اعداد اعشار را نام گیرید؟2) ارقام اعشاری هرقدر که باشد از کدام عدد کوچکتر است؟3) طبقه بندی ارقام اعشاری چگونه است؟4) 5,98 از 6 کوچکتر است، در شکل نشان دهید؟
تبدیل کسر ها به یکدیگرI – تبدیل کسر عام به عدد اعشار: جهت تبدیل نمودن عام به اعشار از تقسیم استفاده نموده صورت را تقسیم مخرج نمائید. یعنی جهت تبدیل نمودن کسر به کسر عام داریم که:
ویا II – تبدیل اعشار به کسر عام: به جای اعشاریه در مخرج یک گذاشته و به اندازه ارقام اعشاری در مخرج صفر ها را افزود می کنیم و هر گاه خواسته باشیم کسر های متوالی را به کسر عام تبدیل نمائیم در نخست خط Bar کشیده از عدد یک در مخرج جلو گیری می نمائیم و بجای ارقام اعشاری در مخرج عدد 9 را افزود می کنیم. و هر گاه قبل از متوالی یک عدد غیر متوالی ولی شکسته بعد از اعشار موجود بود آن را از عدد مکمل در صورت کم نموده در صورت بر مخرج نوشته می شود. تبصره: فراموش نکنید که اعداد اعشاریه نا محدود غیر تکراری به کسر های عام قابل تبدیل نیست. تمرین: کسر های عام را به اعشار و اعداد اعشار را به کسر عام تبدیل نمائید:


عملیه جمع عملیه تفریق عملیه ضرب عملیه تقسیم اعداد اعشاری اعداد اعشاری اعداد اعشاری اعداد اعشاری
I – عملیه جمع و تفریق اعداد اعشاری: هر گاه خواسته باشیم اعداد مورد نظر اعشاری را جمع و یا تفریق کنیم طوری عمل می نمائیم که اعشاریه تحت اعشاریه نوشته متباقی ارقام را می نویسیم و نتیجه را جمع و تفریق می نمائیم. و در حاصل جمع و تفریق زیر علامه اعشاری دو باره اعشاریه گذاشته می شود.مثا ها: اعداد اعشاری ذیل را جمع و یا تفریق نمائید.9,2 5 + 14,2
3,15 2,1 1,05
19,25 32,012 + 51,262 0,21 - 51,0520,100 0,001 - 0,099
تمرین: در صنف بالای شاگردان کار شود.
II – عملیه ضرب اعداد اعشاری: جهت ضرب نمودن اعداد اعشاری عیناً ضرب اعداد طبیعی می باشد صرف با فرق اینکه در اخیر علامه اعشاریه را نظر به ارقام اعشاری مضروب و مضروب فیه از حاصل ضرب جدا می گردد.مثلا:0,2 5 x1,0
9,21 0,15 × 4605 921 + 000 1,3815 15,0011000 ×15001,000
یادداشت: هر گاه تعداد ارقام اعشاری مساوی به تعداد صفر ها باشد جهت ضرب نمودن فقط به تعداد صفر ها از علامه اعشاریه جدا می نمائیم. یعنی تعدا صفر مساوی به اعشاریه حذف می گردد.